Рис1 Вклады вероятностей событий P в формулы Е, А, Т.
уществуют диаграммы, в которых сконцентрировано много смыслов, имеющих отношение к широкому кругу вопросов, дел и результатов. Понятие энтропии из крепости под названием ТЕРМОДИНАМИКА расползлось по дебрям теории информации, геологии, химии, филологии, демографии, этнографии, биологии, и многих других дисциплин, обрастая особенностями их знаний и толкованиями этого понятия. Хотелось иметь нечто пригодное для многих, если не всех, страдающих от разнообразия, неопределённости названий и трудностей поиска аналогов составов этих объектов. Года 2-3 размышлений на эту тему и в 1971 появилась первая статья (так видится автору) [1], в которой была предложена диаграмма , в которой можно сопоставлять много чего из разных областей знания.. Это было сочетание энтропии Клода Шеннона (1948) и производной от неё — анэнтропии, потом осознанной как энтропия смешения. Освоение диаграммы проявило большие потери информации при сжатии составов поликомпонентных объектов, которых в жизни мы встречаем на каждом шагу . Впрочем, ничтожная их часть уже перечислена перечислена во второй фразе этого абзаца.
На диаграмме (снизу вверх) приведены вклады Р в результаты расчётов функций: 1) энтропии Шеннона, она же энтропия смешения, она же мера сложности состава; 2) анэнтропии Петрова, она же энтропия разделения, она же мера простоты состава; 3) толерантности Петрова, она же энтропия пурификации и мера чистоты состава.
Как видим, названия энтропий производятся из названий процессов изменений составов, названия мер отвечают за результаты процессов. То есть ничего лишнего нет, ничего не забыто, и ориентирует на смысл термина.
Горизонтальная ось диаграммы – содержания компонентов в долях единицы, то есть SUMPi=1. Поскольку интервал Pi заключён между 0 и 1, к ним можно приближаться неопределённо долго. К нулю, — добавляя нули к числу в ряду 0.1 -0.01-0.001… 0.000000001…. до бесконечности, как и добавляя девятки к ряду 0.9- 0.09.0.009… 0.000000009…. Эта игра не интересовала древних греков и мыслителей Средневековья — они не занимались слишком малым и слишком большим, — для ИХ органов чувств. Ни телескопов, ни микроскопов у них не было. У них был очень узкий кругозор и стремление к пониманию удовлетворялось рассуждениями без возможности проверки.
С миллионными долями столкнулись аналитики вещества — в 19-веке — при открытии новых элементов. А в 20-м-21 — миллионные доли в рудах — стали обыденностью, но математиков эти вещи интересовали мало. Геология для них вообще довольно неприятный предмет. Там всё разное и рядом, сплошные смеси, переходящие друг в друга. Всё, выглядящее стабильным, изменяется. Вулканы извергаются, когда хотят, землетрясения — тоже, вода перерезает горные хребты, кристаллы возникают триллионами, воды идут к теплу, в общем, предсказать по самой высокой математике то, что будет через месяц-год в созревающим нарыве Йеллоустона, под Неаполем, и ещё в нескольких местах невозможно.
Асимметрия внимания — отличия в девятках при приближении концентрации к единице — незначимо. а к нулю вредных веществ существенно, — здесь яды.
Авогадро пересчитал молекулы в моле вещества, и оно стало в один ряде с величинами, которыми оперируют астрономы.
К делу.
Вертикальная ось – вклады содержаний отдельных компонентов в энтропию, анэнтропию, толерантность.
Как видим, вклады в три используемые энтропийные функции существенно различаются.
Вклады в энтропию имеют максимум при p= 0.368… и убывают при приближении содержаний к единице и к нулю. Соответственно, компоненты «большие», имеющие содержания более 0.368 будут располагаться на правой ветви вкладов в энтропию круто уходящей вниз при приближении к единице.
В отличие от вкладов в энтропию, вклады в анэнтропию растут постепенно замедляя скорость увеличения, толерантность линейно , — возрастают при уменьшении содержаний компонентов. При этом обращает на себя внимание практически симметричное, относительно горизонтальной оси, расположение линии вкладов в толерантность и в энтропию вскоре после максимума её вкладов.
Вклады в Н, А и Т связаны между собой функционально.
Первая производная вклада по p в энтропию «- piln pi» это вклад в анэнтропию «-ln pi «. Вклад в толерантность «1/ pi» – вторая производная от вклада в энтропию и первая производная от вклада в анэнтропию.
Весьма важно, что Большие вклады малых компонентов в анэнтропию и , особенно, — в толерантность при усреднении влекут снижение вкладов ведущих компонентов в энтропию. Они устремляются к… равноправию, что может выглядеть как шутка, но это очень серьёзно.
Анэнтропия и толерантность, будучи порождениями энтропии, расширяют её возможности в направлении относительного повышения степени учёта малых компонентов. Они уменьшают чрезмерность сжатия информации о составе от одномерной величины — энтропии, выводя точку с одной линии Е на плоскости ЕА или ЕТ и в объём ЕАТ. Толерантность повышает различимость точек при их плотных скоплениях на диаграммах НА.
О принципиально новом действии виртуализации в статистике при переходе к работе с натуральным рядом поговорим отдельно.