A – Анэнтропия по Т. Петрову

На этапе разработки метода, когда в сжатом описании состава были связаны только два параметра – ранговая формула и информационная энтропия,  было обнаружено, что некоторые  горные породы и минералы, а именно   некоторые сланцы и мусковиты,  имеют одинаковые ранговые формулы R и значения энтропии H. Графическое  сопоставление их ранжированных составов (на диаграмме ранг компонента- соедержание, показало существенное различие “хвостов” распределений при практической  неразличимости их начальных частей. У слюд значения последних  компонентов оказалились существенно меньшими, чем у сланцев, что показано на рисуне.

Причина очевидна – отбор элементов на уровне атомов-молекул на поверхности растущего кристалла гораздо более эффективен, чем при разделении взвеси в водоёмах.

Так была обнаружена  недостаточность информационной энтропии для её использования при работе  с  анализами, включающими низкие содержания компонентов. Миллионные доли единицы сейчас совершенно обычны  в анализах минералов, горных пород и высокочистых веществ, использующихся в современных “высоких”технологиях.

Поиск подходящей характееристики привёл к простейшему варианту, органично связанному с энтропией.
Вклад в анэнтропию  “-lnpi” является первой частной производной по содержанию. Вклады изменяются монотонно, возрастая с замедлением при уменьшении p. С графиком зависимости lnp от  p мы знакомы со школы.

В современной версии программы анэнтропия обозначается как А для полных анализов и Аn – для усечённых (обрубленных) до заказанной “стандартизированной” детальности n. В условиях использования анализов разной детальности (длины) стандартизация является необходимым  средством обеспечения их сопоставимости на диаграммах. Энтропия тоже зависит от детальности, но в гораздо меньшей степени.

Используются натуральные логарифмы, принятые в физической химии.

Интервалы допустимых значений: minА= 0 при Е=lnn,  MaxА=+∞ при Е=0.

Таблицы вкладов в анэнтропию:
Robert M. Fano  Transmission of Information. A statistical theory of communications. Publ. M.I.T. Press and J. W & S  NY, L. 1961

Р.Фано Передача информации. Статистическая  теория связи. М.:”Мир” 1965

Возможные аспекты рассмотрения анэнтропии  A:

Интуитивный – мера чистоты состава системы с учетом количества компонентов и значимости их содержаний  (∑pi =1)

Математический –  отрицательный среднеарифметический логарифм содержаний минус логарифм числа компонентов

Теоретико-информационный –  средняя скорость изменения энтропии при вариациях частот событий

Статистический –  мера неравномерности распределения, мера малости малых содержаний в составе

Термодинамический –  предложена  как энтропия разделения, сродство к смешению, мера неравновесности «чистого» состава по отношению к составу с равномерным распределением компонентов,

Классификационный –  обобщенное количественное континуальное представление целго при преимущественном внимании к редким компонентам  состава.

Лингвистический – название происходит от термина энтропия, с которой анэнтропия  связана математически; анэнтропия аналогична энтропии по использованию ln pi и антиномична энтропии по связи вкладов в величины pi меньших 0.368…

Визуальный – степень близости к оси Х хвоста ранжированного  распределения частот (вероятносстей) событий  pi . Изолинии нормировнной к единице анэнтропии трёхкомпонентной системы показаны на рисунке

Рисунок приведён в статье:

Tomas Georgievich Petrov, “Soft” System of Coordinates in Regular Simplexes, International Journal of Intelligent Information Systems. Vol. 4, No. 1, 2015, pp. 1-7. DOI: 10.11648/j.ijiis.20150401.11/

https://www.researchgate.net/publication/273460289_Soft_System_of_Coordinates_in_Regular_Simplexes

Минерало-генетический –  аспект связан с неоднозначностью оценки роли «малых» среди «больших» при изменениях состава объекта во времени, порой таких, что одно постепенно превращается в совсем другое.

Минерал имеет 1) определённую кристаллическую пространственно-решетчатую структуру,  2) относительно постоянный состав ведущих  компонентов и 3) сильно варьирующий шлейф малых. Отбор элементов на атомно-молекулярном уровне весьма эффективен, для сохранения структуры. Это широко используется в промышленности получения веществ высокой чистоты. Поэтому  информационная энтропия  (аналог термодинамической энтропии смешения) минерала, как  правило, варьирует мало.

При росте кристаллов в природе (и в технике) состав кристалла всегда изменяется в связи с изменяющимися: разнообразиями (сложностями – Н)  состава среды, температурами и скоростями  роста. Примеси – главные свидетели и фиксаторы изменений этих параметров, но роль малых компонентов  во вкладе компонента в формуле Шеннона, резко занижена домножением логарифма частоты события на его частоту  «p».  То есть, как первый вариант усиления значимости вклада компонента в энтропию это удаление частоты «p» из произведения  «- pi *lnpi». Вкладом становится «-lnpi», что существенно поднимает значимость вклада для малого компонента и в, тем большей степени, чем меньше содержание – частота  его встречи.

Как видим на приведённом выше рисунке, три последних элемента, общие для слюды (мусковита) и для глинистого сланца (фуллеровой земли), имеют меньшие Ат%, чем у сланца. На врезке таблички в диаграмму показаны значения анэнтропии при равных (в пределах ошибки)  значениях энтропии. Анэнтропия слюды выше анэнтропии сланца, что отражает более высокую степень дифференциации вещества в процессе  кристаллизации по сравнению  с гравитационным разделением в подвижной жидкости.

Это с одной стороны. С другой – показывает, что одной энтропии  могут соответствовать разные распределения частот-вероятностей событий, что выявляется на диаграммах энтропия-анэнтропия.

Экономический  – мера ценности обогащённого, очищенного продукта

Исторический: анэнтропия предложена в статье:
Петров Т.Г. Обоснование варианта общей классификации  геохимических систем. // Вестник ЛГУ. – N18. – 1971. С.30–38.

История возникновения понятия анэнтропии кратко изложена в начале этого текста.

В книге:
Петров Т.Г., Фарафонова О.И. Информационно-компонентный анализ. Метод RHA. (Учебное пособие). СПб. 2005. 168с. DOI: 10.13140/2.1.3837.3120
описана относительная анэнтропия как средство приведения интервала возможных значений А к 0÷1, получаемая делением абсолютной, приведённой на картинке, на величину анэнтропии для “аналитически идеально чистой” системы, которая имеет состав: p1=0.99955: p2÷p10=0.00005.  Позднее, по мере расширения области применения метода в направлении включения объектов с содержаниями компонентов меньшими 0.00005, от использования относительной энтропии пришлось отказаться. В показанном треугольнике приведены изолинии нормированной анэнтропии.

Вернуться на “Картинки И”