На этапе разработки метода RHA (ранговая формула, энтропия, анэнтропия), когда в сжатом описании состава были связаны только два параметра — ранговая формула R и информационная энтропия H, было обнаружено, что некоторые горные породы и минералы, а именно некоторые сланцы и мусковиты, имеют близкие или одинаковые ранговые формулы R и значения энтропии H. Графическое сопоставление их ранжированных составов (на диаграмме ранг компонента- содержание) показало существенное различие «хвостов» распределений при практической неразличимости их начальных частей. У слюд значения последних компонентов оказались существенно меньшими, чем у сланцев, что показано на рис. 1.
Рис.1 Ранжированное распределение содержаний элементов в мусковите (Musc) и сланце (Schist).
Причина очевидна – отбор элементов на уровне атомов-молекул на поверхности растущего кристалла гораздо более эффективен, чем при разделении взвеси в водоёмах.
Так была обнаружена недостаточность информационной энтропии для её использования при работе с анализами, включающими низкие содержания компонентов. Миллионные доли единицы сейчас совершенно обычны в анализах минералов, горных пород и высокочистых веществ, использующихся в современных «высоких» технологиях.
Поиск подходящей характеристики привёл к простейшему варианту, органично связанному с энтропией.
Вклад в анэнтропию «-lnpi» является первой частной производной по содержанию. Вклады изменяются монотонно, возрастая с замедлением при уменьшении p. С графиком зависимости lnp от p мы знакомы со школы.
В современной версии программы анэнтропия обозначается как А для полных анализов и Аn – для усечённых (обрубленных) до заказанной «стандартизированной» детальности n. В условиях использования анализов разной детальности (длины) стандартизация является необходимым средством обеспечения их сопоставимости на диаграммах.
Используются натуральные логарифмы, принятые в физической химии.
Пределы значений:
minА=0 p1=p2=p3=… …=pn=1/n. (Оно же условие MaxE=lnn)
MaxА=+∞ .при p1=1, p2=p3=… ...=pn = 0 (Оно же условие minЕ=0)
Таблицы вкладов (pi) в анэнтропию имеются в книге:
Robert M. Fano Transmission of Information. A statistical theory of communications. Publ. M.I.T. Press and J. W & S NY, L. 1961. Рус. пер. Р. Фано Передача информации. Статистическая теория связи. М.: «Мир» 1965
Возможные аспекты рассмотрения анэнтропии A:
Интуитивный – мера чистоты состава системы с учетом количества компонентов и значимости их содержаний (∑pi =1)
Математический – отрицательный среднеарифметический логарифм содержаний минус логарифм числа компонентов
Теоретико-информационный – средняя скорость изменения энтропии при вариациях частот событий
Статистический – мера неравномерности распределения, мера малости малых содержаний в составе
Термодинамический – предложена как энтропия разделения, сродство к смешению, мера неравновесности «чистого» состава по отношению к составу с равномерным распределением компонентов,
Классификационный – обобщенное количественное континуальное представление целго при преимущественном внимании к редким компонентам состава.
Лингвистический – название происходит от термина энтропия, с которой анэнтропия связана математически; анэнтропия аналогична энтропии по использованию ln pi и антиномична энтропии по связи вкладов в величины pi меньших 0.368…
Визуальный – степень близости к оси Х хвоста ранжированного распределения частот (вероятностей) событий pi . Изолинии нормированной к единице анэнтропии трёхкомпонентной системы показаны на рисунке
Рисунок приведён в статье:
Tomas Georgievich Petrov, “Soft” System of Coordinates in Regular Simplexes, International Journal of Intelligent Information Systems. Vol. 4, No. 1, 2015, pp. 1-7. DOI: 10.11648/j.ijiis.20150401.11/
https://www.researchgate.net/publication/273460289_Soft_System_of_Coordinates_in_Regular_Simplexes
Минерало-генетический – аспект связан с неоднозначностью оценки роли «малых» среди «больших» при изменениях состава объекта во времени, порой таких, что один минерал в изоморфном ряду постепенно превращается в другой.
Минерал имеет 1) определённую кристаллическую пространственно-решетчатую структуру, 2) относительно постоянный состав ведущих компонентов и 3) сильно варьирующий шлейф малых, а для изоморфных минералов и больших. Отбор элементов на атомно-молекулярном уровне весьма эффективен, для сохранения структуры. Это широко используется в промышленности получения веществ высокой чистоты. Поэтому информационная энтропия (аналог термодинамической энтропии смешения) минерала, как правило, варьирует мало.
При росте кристаллов в природе (и в технике) состав кристалла всегда изменяется в связи с изменяющимися: разнообразиями (сложностями – Н) состава среды, температурами и скоростями роста. Примеси – главные свидетели и фиксаторы изменений этих параметров, но роль малых компонентов во вкладе компонента в формуле Шеннона, резко занижена домножением логарифма частоты события на его частоту «p». То есть, как первый вариант усиления значимости вклада компонента в энтропию это удаление частоты «pi» из произведения «- pi *lnpi». Вкладом становится «-lnpi», что существенно поднимает значимость вклада для малого компонента и в, тем большей степени, чем меньше содержание – частота его встречи.
Как видим на приведённом выше рисунке, три последних элемента, общие для слюды (мусковита) и для глинистого сланца (фуллеровой земли), имеют меньшие Ат%, чем у сланца. На врезке таблички в диаграмму показаны значения анэнтропии при равных (в пределах ошибки) значениях энтропии. Анэнтропия слюды выше анэнтропии сланца, что отражает более высокую степень дифференциации вещества в процессе кристаллизации по сравнению с разделением в подвижной жидкости зёрен различной формы под действием гравитации.
Это с одной стороны. С другой та же врезка показывает, что практически неразличимым значениям энтропии соответствуют существенно различающиеся распределения частот-вероятностей событий. На диаграммах энтропия-анэнтропия это чётко проявляется .
Экономический – мера ценности обогащённого, очищенного продукта
Исторический: анэнтропия предложена в статье:
Петров Т.Г. Обоснование варианта общей классификации геохимических систем. // Вестник ЛГУ. – N18. – 1971. С.30–38.
История возникновения понятия анэнтропии кратко изложена в начале этого текста.
В книге:
Петров Т.Г., Фарафонова О.И. Информационно-компонентный анализ. Метод RHA. (Учебное пособие). СПб. 2005. 168с. DOI: 10.13140/2.1.3837.3120
описана относительная анэнтропия как средство приведения интервала возможных значений А к интервалу 0÷1. Эта разновидность анэнтропии получается делением абсолютной, приведённой на картинке, на величину анэнтропии для «аналитически идеально чистой» системы, которая имеет состав: p1=0.99955: p2÷p10=0.00005. В показанном треугольнике приведены изолинии нормированной анэнтропии.
Позднее, по мере расширения области применения метода в направлении включения объектов с содержаниями компонентов меньшими 0.00005, от использования относительной энтропии пришлось отказаться.